1. แรงที่กระทำต่อลูกตุ้มกรวย
- ลูกตุ้มมีแรง 2 แรง: แรงดึงเชือก T ตามแนวเชือก และน้ำหนัก mg
- แนวดิ่ง (ไม่มีความเร่ง): T cos θ = mg
- แนวระดับ (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง): T sin θ = mv²/r = mω²r
- หารกัน: tan θ = v²/(rg) = ω²r/g · และ tan θ = r/h จึงได้ ω² = g/h
v = √(g r tan θ) = r√(g/h) T = 2π/ω = 2π√(h/g) = 2π√(L cos θ / g)
คาบไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้ม และขึ้นกับความสูงของกรวย h เท่านั้น · เมื่อมุมเล็กมาก cos θ ≈ 1 คาบจึงใกล้เคียงคาบของลูกตุ้มอย่างง่าย 2π√(L/g)
2. ถ้าผลักไม่พอดี
- ความเร็วน้อยกว่าที่ต้องการ: แรงสู่ศูนย์กลางมากเกินกว่าที่จะรักษาวงกลม → ลูกตุ้มวิ่งเข้าใน เกิดวงรีที่หมุนควงไปเรื่อย ๆ
- ความเร็วมากเกิน: ลูกตุ้มเหวี่ยงออกนอกวง · ถ้าผลักในแนวไม่ตั้งฉากกับรัศมีก็เกิดวงรีเช่นกัน
- วงรีของลูกตุ้มทรงกลม (spherical pendulum) มีคาบใกล้เคียงวงกลมที่รัศมีเฉลี่ย แต่ใช้ h ของวงอ้างอิงไม่ได้ จึงควรผลักให้เป็นวงกลม
💡 แบบจำลองใน simulation: คำนวณการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มทรงกลมเต็มรูปแบบ 3 มิติ (ไม่ประมาณมุมเล็ก) ด้วยเชือกยาวคงที่ · แรงต้านอากาศแบบเชิงเส้นเล็กน้อยทำให้วงหดลงราว 0.5–1% ต่อรอบ · ไม่คิดมวลเชือก · g โลก = 9.81 m/s² · ดาวปริศนาสุ่ม g ระหว่าง 3–25 m/s² ครั้งเดียวต่อการเปิดหน้า